【等比数列公式】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为常数。这种数列在实际生活中广泛应用，如银行利息计算、人口增长预测等。本文将对等比数列的基本公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、等比数列基本概念
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。这个比值称为公比，记作 $ q $。
首项记作 $ a_1 $，第 $ n $ 项记作 $ a_n $。
二、等比数列的核心公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 计算等比数列第n项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ （当 $ q \neq 1 $） | 求等比数列前n项的和 | ||
| 当 $ q = 1 $ 时 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项相同，和为项数乘以首项 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ （当 $ | q | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项和收敛 |
三、应用举例
例1：求第5项
已知等比数列首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求第5项。
解：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
例2：求前4项和
已知 $ a_1 = 5 $，$ q = 2 $，求前4项和。
解：
$$
S_4 = 5 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} = 5 \cdot (16 - 1) = 5 \cdot 15 = 75
$$
例3：求无穷级数和
已知 $ a_1 = 1 $，$ q = \frac{1}{2} $，求无穷和。
解：
$$
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
$$
四、注意事项
- 公比 $ q $ 的取值范围：若 $ q = 1 $，则数列为常数列；若 $
- 避免混淆：等比数列与等差数列不同，前者是“乘法关系”，后者是“加法关系”。
- 实际应用中注意单位和条件限制：如金融计算中，需考虑利率是否为年利率或月利率。
五、总结
等比数列作为数列中的重要类型，具有明确的公式体系和广泛的应用场景。掌握其核心公式不仅有助于解决数学问题，也能在实际生活中提供有效工具。通过上述表格与实例，可以更直观地理解等比数列的结构与运算方式。
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