【如何求数列通项公式：（[7]特征根法及(上)）】在数列求解中，特征根法是一种常用于解决线性递推关系的重要方法。它尤其适用于二阶或更高阶的常系数线性递推数列。通过特征根法，我们可以将复杂的递推关系转化为代数方程，从而找到通项公式。
以下是对特征根法的基本原理和步骤的总结，并结合实例进行说明。
一、特征根法基本原理
对于一个二阶常系数线性齐次递推关系：
$$
a_n = p \cdot a_{n-1} + q \cdot a_{n-2}
$$
我们可以通过构造其特征方程来求解通项公式。特征方程的形式为：
$$
r^2 - p r - q = 0
$$
根据该方程的根（即特征根）的不同情况，通项公式的表达形式也有所不同。
二、特征根法的分类与通项公式
| 特征根情况 | 根的类型 | 通项公式 | 说明 | ||
| 两个不相等实根 $ r_1, r_2 $ | 实根 | $ a_n = A r_1^n + B r_2^n $ | 其中 $ A, B $ 由初始条件确定 | ||
| 一对重根 $ r $ | 重根 | $ a_n = (A + B n) r^n $ | 注意含有 $ n $ 的项 | ||
| 一对共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $ | 复根 | $ a_n = \lambda^n (C \cos(n\theta) + D \sin(n\theta)) $ | 其中 $ \lambda = | \alpha + \beta i | $，$ \theta = \tan^{-1}(\beta/\alpha) $ |
三、特征根法步骤总结
1. 写出递推关系式：如 $ a_n = p a_{n-1} + q a_{n-2} $。
2. 建立特征方程：将递推关系转化为 $ r^2 - p r - q = 0 $。
3. 求解特征方程的根：计算判别式 $ D = p^2 + 4q $，判断根的类型。
4. 根据根的情况写出通项公式：选择对应的通项形式。
5. 利用初始条件求解待定系数：如 $ a_0, a_1 $ 等。
四、示例解析
例题：已知递推关系
$$
a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}, \quad a_0 = 1, \quad a_1 = 4
$$
步骤如下：
1. 特征方程：
$$
r^2 - 5r + 6 = 0
$$
2. 解得特征根：
$$
r_1 = 2, \quad r_2 = 3
$$
3. 通项公式为：
$$
a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n
$$
4. 利用初始条件求解 $ A $ 和 $ B $：
- 当 $ n = 0 $: $ a_0 = A + B = 1 $
- 当 $ n = 1 $: $ a_1 = 2A + 3B = 4 $
解得：
$$
A = -1, \quad B = 2
$$
5. 最终通项公式为：
$$
a_n = -2^n + 2 \cdot 3^n
$$
五、小结
特征根法是求解常系数线性递推数列通项公式的有效工具，尤其适用于二阶及以上递推关系。掌握其基本原理和不同根情况下的通项形式，有助于快速解决相关问题。
下篇我们将继续介绍非齐次递推关系的特征根法应用，敬请期待。
