分部积分法是解决两个函数乘积积分的重要技巧，其核心公式为∫u dv = uv - ∫v du，关键是合理选择u和dv，通常遵循“反对幂指三”或“LIATE”优先顺序，即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数依次优先作为u。 使用时先将被积函数拆分为u和dv，计算du和v，再代入公式简化积分。例如计算∫x e^x dx，选择u=x（幂函数），dv=e^x dx，则du=dx，v=e^x，代入得x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C。若选择不当会导致积分更复杂，需灵活调整。实际应用中，分部积分法还可多次使用，或结合换元法、递推公式解决复杂积分。

【常见问题】

问题1：分部积分法中如何确定u和dv的顺序？

回答1：根据“反对幂指三”原则，反三角函数和对数函数优先级最高，其次是幂函数，再次是指数函数和三角函数。选择优先级高的作为u，剩余部分作为dv，能简化积分过程。例如求∫x² sin x dx，幂函数x²优先级高于三角函数sin x，选u=x²，dv=sin x dx。

问题2：分部积分法能用多次吗？

回答2：可以。当一次分部积分后得到的∫v du仍较复杂，可继续使用分部积分法，直到能直接积分或出现循环形式。例如求∫e^x cos x dx，需两次分部积分后得到相似表达式，通过解方程得出结果。

问题3：分部积分法适用于哪些类型的积分？

回答3：主要适用于乘积形式，尤其是幂函数与指数函数、三角函数、对数函数、反三角函数的乘积，以及单一函数如ln x、arcsin x等也可视为乘积（乘以1）后应用分部积分法。