在数学分析中，arctanx（即反正切函数）是一个非常重要的概念，它在微积分、物理学以及工程学等领域有着广泛的应用。对于这个函数，我们常常需要了解它的导数形式，这有助于深入理解其性质和应用。

首先，让我们回顾一下arctanx的基本定义。arctanx是tanx的反函数，通常表示为y = arctanx，意味着tan(y) = x，其中y的取值范围限定在(-π/2, π/2)之间。这一限制确保了反正切函数具有单值性和连续性。

接下来，我们来推导arctanx的导数。根据导数的基本原理，若y = f(x)，则f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h。将y = arctanx代入，我们得到：

dy/dx = lim(h->0)[arctan(x+h)-arctan(x)]/h

为了简化计算，我们可以利用三角恒等式tan(a-b) = (tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))。通过设定a = arctan(x+h)，b = arctan(x)，可以将上述表达式转化为：

dy/dx = lim(h->0)[tan(arctan(x+h))-tan(arctan(x))]/[h(1+tan(arctan(x+h))tan(arctan(x)))]

由于tan(arctan(x)) = x，且当h趋近于0时，tan(arctan(x+h))也接近于x，因此上式进一步简化为：

dy/dx = lim(h->0)[(x+h-x)/h]/[1+x^2]

最终得到的结果是：

dy/dx = 1/(1+x^2)

这个结果表明，arctanx的导数是一个关于x的有理函数，其分母始终大于零，这意味着arctanx在整个实数域内都是可导的，并且导数值总是正的，这反映了arctanx函数在其定义域内的单调递增特性。

总之，通过对arctanx导数的探讨，我们不仅加深了对该函数的理解，还掌握了如何运用极限思想和三角恒等式来解决实际问题的方法。这些知识将在后续的学习中发挥重要作用，帮助我们更好地理解和解决各种复杂的数学问题。